Sobre los Números y la Notación Matemática
por René Guénon
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Nacido en Blois, Francia, en 1886, René Guénon comienza a publicar sus
primeros artículos en la revista. La Gnose cuando contaba tan sólo 23 años
de edad. En dicha revista, dirigida por él mismo desde su fundación en 1909
hasta su desaparición en 1912, Guénon sienta las bases de su pensamiento,
manifestado a lo largo de más de veinte obras, el conjunto de las cuales
conforma la más profunda, rigurosa y sintética exposición de la Doctrina
tradicional que se haya dado en nuestro siglo.
Diremos que lo esencial de esa obra, es decir las ideas y principios de
orden metafísico y universal, estaba contenido en esos primeros artículos,
como es el caso de los dos estudios que constituyen este Cuaderno, los que
presentamos conjuntamente bajo el título "Sobre el Número y la Notación
Matemática".
Se tratan de:
"Notas sobre la Producción de los Números" y "Observaciones acerca de la
Notación Matemática", publicados ambos en La Gnose en 1910 con el nombre
de Palingenius, y que forman parte del volumen Mélanges, recopilación póstuma
de artículos escritos en diferentes períodos realizada por Ed. Gallimard
en 1976. Las ideas expuestas en "Observaciones sobre la Notación Matemática"
tienen un más amplio desarrollo en uno de los últimos libros de Guénon:
Los Principios del Cálculo Infinitesimal, de 1946.
NOTAS SOBRE LA PRODUCCIÓN DE LOS NÚMEROS
"Al principio, antes del origen de todas las cosas, era la unidad", dicen
las teogonías más elevadas de Occidente, aquellas que se esfuerzan en llegar
al Ser más allá de su manifestación ternaria, y que no se detienen nunca
en la apariencia universal del Binario. Sin embargo, las teogonías de Oriente
y de Extremo Oriente dicen: "Antes del principio, incluso antes de la Unidad
primordial, era el Cero", ya que saben que más allá del Ser está el No Ser,
que más allá de lo manifestado está lo no-manifestado que es el principio,
y que el No-Ser no es en modo alguno la Nada, sino que es al contrario la
Posibilidad infinita, idéntica al Todo universal, al mismo tiempo que la
Perfección absoluta y la Verdad integral.
Según la Cábala, el Absoluto, para manifestarse, se concentró en un punto
infinitamente luminoso, dejando las tinieblas a su alrededor; esta luz en
las tinieblas, este punto en la extensión metafísica sin límites, esta nada
que lo es todo en un todo que no es nada, si se puede expresar así, es el
Ser en el seno del No-Ser, la Perfección activa en la Perfección pasiva.
El punto luminoso, es la Unidad, afirmación del Cero metafísico que se representa
mediante la extensión ilimitada, imagen de la Posibilidad universal infinita.
La Unidad, desde que se afirma, para convertirse en el centro de donde emanarán
como múltiples rayos las manifestaciones indefinidas del Ser, está unida
al Cero que la contenía en principio, en estado de no-manifestación; aquí
aparece ya el Denario en potencia, que será el número perfecto, el desarrollo
completo de la Unidad primordial.
La Posibilidad total es al mismo tiempo la Pasividad universal, ya que contiene
todas las posibilidades particulares, algunas de las cuales se manifestarán,
pasarán de la potencia al acto, bajo la acción del Ser-Unidad. Cada manifestación
es un rayo de la circunferencia que representa la manifestación total; y
esta circunferencia, cuyos puntos son indefinidos en número, es todavía
el Cero en relación a su centro que es la Unidad. Pero la circunferencia
no estaba en absoluto trazada en el Abismo del No-Ser, y marca solamente
el límite de la manifestación, del ámbito del Ser en el seno del No-Ser;
es pues el Cero realizado, y, por el conjunto de su manifestación según
esta circunferencia indefinida, la Unidad alcanza su desarrollo en el Denario.
Por otra parte, desde la afirmación de la Unidad, incluso antes de toda
manifestación, si esta Unidad se opusiera al Cero que en principio la contiene,
se vería aparecer el Binario en el seno del Absoluto mismo, en la primera
diferenciación que conduce a la distinción del No-Ser y del Ser; pero hemos
visto en nuestro estudio sobre el Demiurgo lo que es esta distinción. Hemos
indicado entonces que el Ser, o la perfección activa, Khien, no es nada
realmente distinto del No-Ser, o de la Perfección pasiva, Khouen, y que
esta distinción, punto de partida de toda manifestación, solo existe en
la medida en que nosotros mismos la creamos, porque no podemos concebir
el No-Ser más que a través del Ser, lo no-manifestado más que a través de
lo manifestado; luego la diferenciación del Absoluto en Ser y No-Ser no
expresa sino el modo en que nosotros nos representamos las cosas, y nada
más.
Además, si se enfocan las cosas bajo este aspecto, se puede decir que el
Absoluto es el principio común del Ser y del No-Ser, de lo manifestado y
de lo no-manifestado, aunque en realidad se confunde con el No-Ser, ya que
éste es el principio del Ser, siendo a su vez el principio primero de toda
manifestación. Luego, de considerar aquí el Binario, se llegaría inmediatamente
a la presencia del Ternario; pero, para que hubiera verdaderamente un Ternario,
es decir, ya una manifestación, haría falta que el Absoluto fuese la Unidad
primordial, y hemos visto que la Unidad representa únicamente al Ser, afirmación
del Absoluto. Es este Ser-Unidad el que se manifestará en la multiplicidad
indefinida de los números, el que los contiene a todos en sí, como potencia
de ser, y que los emanará como otros tantos submúltiplos de sí mismo; y
todos los números están comprendidos en el Denario, que se realiza mediante
el recorrido del ciclo de la manifestación total del Ser, y cuya producción
consideraremos a partir de la Unidad primordial.
En un estudio precedente, hemos visto que todos los números pueden considerarse
como emanados por parejas de la Unidad; estas parejas de números inversos
o complementarios, que se pueden ver como simbolizando la unión de los Eones
en el seno del Pleroma, existen en la Unidad en estado indiferenciado o
no manifestado:
1 = 1/2 x 2 = 1/3 x 3 = 1/4 x 4 = 1/5 x 5 = . . . = 0 x ¥
Cada uno de estos grupos, 1/n x n, no es en modo alguno distinto de la unidad,
y no lo será más que si se consideran separadamente los dos elementos que
lo constituyen; es entonces cuando nace la Dualidad, que distingue los dos
principios uno de otro, en absoluto opuestos como se dice en general equivocadamente,
sino complementarios; activo y pasivo, positivo y negativo, masculino y
femenino. Pero estos dos principios coexisten en la Unidad, y su indivisible
dualidad es ella misma una unidad secundaria, reflejo de la Unidad primordial;
así, junto a la Unidad que los contiene, los dos elementos complementarios
constituyen el Ternario, que es la primera manifestación de la Unidad, ya
que el dos, nacido del uno, no puede existir sin que el tres sea de inmediato,
por esto mismo:
1 + 2 = 3
Y, así como no podemos concebir al No-Ser más que a través del Ser, no podremos
concebir al Ser-Unidad más que a través de su manifestación ternaria, consecuencia
necesaria e inmediata de la diferenciación o de la polarización que nuestro
intelecto crea en la Unidad. Esta manifestación ternaria, bajo cualquier
aspecto en que se considere, es siempre una Trinidad indisoluble, es decir,
una Tri-Unidad, ya que sus tres términos no son distintos en absoluto, sino
que son la misma Unidad concebida como conteniendo en sí misma los dos polos
mediante los que se producirá toda manifestación.
Esta polarización reaparece enseguida en el Ternario, ya que, si se consideran
los tres términos de éste con existencia independiente, se obtendrá por
ello mismo el Senario, implicando un nuevo ternario que es reflejo del primero:
1+ 2 + 3 = 6
Este segundo ternario no tiene existencia real alguna por sí mismo; es al
primero lo que el Demiurgo es al Logos emanador, una imagen tenebrosa e
invertida, y veremos en efecto a continuación que el Senario es el número
de la creación. Contentémonos por el momento con observar que este número
lo realizamos nosotros, en tanto que distinguimos los tres términos de la
Tri-Unidad entre sí, en lugar de considerar sintéticamente la Unidad principial,
independientemente de toda distinción, es decir, de toda manifestación.
Si se considera el Ternario como manifestación de la Unidad, es necesario
considerar al mismo tiempo la Unidad como no manifestada, y entonces esta
Unidad, añadida al Ternario, produce el Cuaternario, que se puede figurar
aquí por el centro y los tres vértices de un triángulo. Puede decirse también
que el Ternario, simbolizado por un triángulo cuyos tres vértices corresponden
a los tres primeros números, supone necesariamente el Cuaternario, cuyo
primer término, no expresado, es entonces el Cero, que en efecto no puede
ser representado. De este modo se puede, en el Cuaternario, considerar como
primer término al Cero o a la Unidad primordial; en el primer caso, el segundo
término será la Unidad en tanto que ésta se manifiesta, y los otros dos
constituirán su doble manifestación; en el segundo caso, al contrario, estos
dos últimos, los dos elementos complementarios de los que hemos hablado
más arriba, deberán preceder lógicamente al cuarto término, que no es otro
que su unión, realizando entre ellos el equilibrio en el cual se refleja
la Unidad principia. Por último, si se considera el Ternario, en su aspecto
más inferior, formado por los dos elementos complementarios y el término
que los equilibra, siendo éste la unión de los dos anteriores, participa
del uno y del otro, de manera que se lo puede considerar como doble, y,
aquí de nuevo, el Ternario implica inmediatamente un Cuaternario que es
su desarrollo.
De cualquier modo en que se considere el Cuaternario, se puede decir que
contiene todos los números, ya que, si se toman los cuatro términos como
distintos, se ve que contiene el Denario:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Es por esto que todas las tradiciones dicen: el uno ha producido el dos,
el dos ha producido el tres, el tres ha producido todos los números; la
expansión de la Unidad en el Cuaternario realiza inmediatamente su manifestación
total, que es el Denario.
El Cuaternario se representa geométricamente por el cuadrado, si se lo considera
en estado estático, y por la cruz, si se lo considera en estado dinámico;
cuando la cruz gira alrededor de su centro, engendra la circunferencia,
que, con el centro, representa al Denario. Esto es lo que se llama la circulación
del cuadrante, y es la representación geométrica del hecho aritmético que
acabamos de enunciar; inversamente, el problema hermético de la cuadratura
del círculo se representará mediante la división del círculo en cuatro partes
iguales por medio de dos diámetros rectangulares, y se expresará numéricamente
por la ecuación precedente escrita en sentido inverso:
10 = 1 + 2 + 3 + 4
El Denario, considerado como formado por el conjunto de los cuatro primeros
números, es lo que Pitágoras llamaba la Tetraktys; el símbolo que la representaba
era en su conjunto de forma ternaria, comprendiendo cada uno de sus lados
exteriores cuatro elementos, y compuesto de diez elementos en total.
Si el Ternario es el número que representa la primera manifestación de la
Unidad principial, el Cuaternario representa la expansión total, simbolizada
por la cruz cuyos cuatro brazos están formados por dos rectas indefinidas
rectangulares; se extienden de este modo definitivamente, orientadas hacia
los cuatro puntos cardinales de la indefinida circunferencia pleromática
del Ser, puntos que la Cábala representa por las cuatro letras del Tetragrama.
El Cuaternario es el número del Verbo manifestado, del Adam Kadmon, y se
puede decir que es esencialmente el número de la Emanación, ya que la Emanación
es la manifestación del Verbo; de él derivan los otros grados de la manifestación
del Ser, en sucesión lógica, mediante el desarrollo de los números que contiene
en sí mismo, y cuyo conjunto constituye el Denario.
Si se considera la expansión cuaternaria de la Unidad como distinta de esta
Unidad misma, ésta produce, por su propia suma, el número cinco; esto es
de nuevo lo que simboliza la cruz con su centro y sus cuatro brazos. Por
otra parte ocurrirá lo mismo para cada nuevo número, al considerarlo distinto
de la Unidad, aunque realmente no lo sea en absoluto, ya que no es más que
una de sus manifestaciones; este número, añadiéndose a la Unidad primordial,
dará a luz al número siguiente; habiendo indicado de una vez por todas este
modo de producción sucesiva de los números, no tendremos en adelante que
insistir más sobre ello.
Si el centro de la cruz se considera como el punto de partida de los cuatro
brazos, representa la Unidad primordial; si al contrario se lo considera
únicamente como su punto de intersección, no representa más que el equilibrio,
reflejo de esta Unidad. Desde este segundo punto de vista, está representado
cabalísticamente por la letra Shin, que, situándose en el centro del tetragrama
cuyas cuatro letras figuran sobre los cuatro brazos de la cruz, forma el
nombre penta gramático, sobre cuya significación no insistiremos más aquí,
queriendo solamente señalar este hecho de pasada. Las cinco letras del pentagrama
se sitúan en las cinco puntas de la Estrella Flamígera, figura del Quinario,
que simboliza más particularmente el Microcosmos o el hombre individual.
La razón es la siguiente: si se considera el cuaternario como la Emanación
o la manifestación total del Verbo, cada ser emanado, sub-múltiplo de esta
Emanación, se caracterizará igualmente por el número cuatro; se convertirá
en un ser individual en la medida en que se distinga de la Unidad o del
centro emanador, y acabamos de ver que esta distinción del cuaternario con
la Unidad es precisamente la génesis del Quinario.
Hemos dicho, en nuestro estudio sobre el Demiurgo, que la distinción de
la que nace la existencia individual es el punto de partida de la Creación;
en efecto, ésta existe en la medida en que el conjunto de los seres individuales,
caracterizados por el número cinco, se considera como distinto de la Unidad,
lo que da nacimiento al número seis. Este número puede verse, como ya hemos
observado anteriormente, formado por dos ternarios de los que uno es el
reflejo invertido del otro; esto es lo que representan los dos triángulos
del Sello de Salomón, símbolo del Macrocosmos o del Mundo creado.
Las cosas son distintas de nosotros en la medida en que nosotros las distinguimos;
en esta misma medida se convierten en exteriores, y al mismo tiempo se convierten
también en distintas entre sí; aparecen entonces como revestidas de formas,
y esta Formación, que es la consecuencia inmediata de la Creación, se caracteriza
por el número que sigue al Senario, es decir, por el Septenario. No haremos
más que indicar la concordancia de lo que precede con el primer capítulo
del Génesis: las seis fases de la Creación, y el papel formador de los siete
Elohim, representando el conjunto de las fuerzas naturales, y simbolizados por
las siete esferas planetarias, que también se podrían hacer corresponder
a los siete primeros números, designándose la esfera inferior, que es la
de la Luna, como el Mundo de la Formación.
El Septenario, tal como acabamos de considerarlo, puede ser representado,
ya sea por el triángulo doble con su centro, o por una estrella de siete
puntas, alrededor de la cual están inscritos los signos de los siete planetas;
es el símbolo de las fuerzas naturales, es decir, del Septenario en el estado
dinámico. Si se lo considera en el estado estático, se lo podría ver formado
por la unión de un Ternario y un Cuaternario, y estaría entonces representado
por un cuadrado rematado por un triángulo; habría mucho que decir sobre
el significado de todas estas formas geométricas, pero estas consideraciones
nos llevarían demasiado lejos del tema del presente estudio.
La Formación conduce a lo que podemos llamar la realización material, que
marca para nosotros el límite de la manifestación del Ser, y que estará
entonces caracterizada por el número ocho. Este corresponde al Mundo terrestre,
comprendido en el interior de las siete esferas planetarias, y que debe
ser considerado aquí simbolizando el conjunto del Mundo material en su totalidad;
por otra parte queda bien claro que cada Mundo no es en absoluto un lugar,
sino un estado o una modalidad del ser. El número ocho corresponde también
a una idea de equilibrio, porque la realización material es, como acabamos
de decir, una limitación, de algún modo un punto de parada en la distinción
que nosotros creamos en las cosas, distinción cuyo grado mide lo que se
designa simbólicamente como la profundidad de la caída; ya hemos dicho que
la caída no es sino un modo de expresar esta distinción misma, que crea
la existencia individual separándonos de la Unidad principial.
El número ocho se representa, en el estado estático, por dos cuadrados,
uno inscrito en el otro, de manera que los vértices del primero sean las
mitades de los lados del segundo. En el estado dinámico, se representa por
dos cruces que tienen el mismo centro, de manera que los brazos de la una
sean las bisectrices de los ángulos rectos formados por los brazos de la
otra.
Si el número ocho se añade a la Unidad, forma el número nueve, que, limitando
así para nosotros la manifestación del Ser, ya que corresponde a la realización
material diferenciada de la Unidad, estará representado por la circunferencia,
y designará la Multiplicidad. Hemos dicho, por otra parte, que esta circunferencia,
cuyos puntos en número indefinido son todas las manifestaciones formales
del Ser (no decimos aquí ya todas las manifestaciones, sino solamente las
manifestaciones formales), puede ser vista como el Cero realizado. En efecto,
el número nueve, añadiéndose a la Unidad, forma el número diez, que resulta
también de la unión del Cero con la Unidad, y que se representa por la circunferencia
y su centro.
Por otra parte, el Novenario puede aún ser considerado como un triple Ternario;
desde este punto de vista, que es el punto de vista estático, es representado
por tres triángulos superpuestos, de manera que cada uno es el reflejo del
inmediatamente superior, de donde resulta que el triángulo intermedio está
invertido. Esta figura es el símbolo de los tres Mundos y de sus relaciones;
por ello el Novenario es considerado a menudo como el número de la jerarquía.
Por último, el Denario, correspondiente a la circunferencia y su centro,
es la manifestación total del Ser, el desarrollo completo de la Unidad;
se lo puede ver entonces como no siendo otra cosa que esta Unidad realizada
en la Multiplicidad. A partir de aquí, la serie de números empieza de nuevo
para formar un nuevo ciclo:
11 = 10 + 1, 12 = 10 + 2, ... 20 = 10 + 10
y después viene un tercer ciclo, y así indefinidamente. Cada uno de estos
ciclos se puede considerar como reproduciendo al primero, pero en otro estadio,
o, si se prefiere, en otra modalidad; se los simbolizará entonces por otros
tantos círculos situados paralelamente unos a otros, en planos diferentes;
pero, como en realidad no hay ninguna discontinuidad entre ellos, es preciso
que estos círculos no sean cerrados, de modo que el final de cada uno sea
al mismo tiempo el comienzo del siguiente. Entonces no son ya círculos,
sino espirales sucesivas de una hélice trazada sobre un cilindro, y estas
espirales se encuentran en número indefinido, siendo el propio cilindro
indefinido; cada una de estas espirales se proyecta sobre un plano perpendicular
al eje del cilindro siguiendo un círculo, pero, en realidad, su punto de
partida y su punto de llegada no están en el mismo plano. Deberemos por
lo demás volver a este tema cuando, en otro estudio, consideremos la representación
geométrica de la evolución.
Sería preciso que considerásemos ahora otro modo de producción de los números,
la producción por la multiplicación, y más particularmente por la multiplicación
de un número por sí mismo, dando lugar sucesivamente a las diversas potencias
de este número. Pero aquí la representación geométrica nos llevaría a consideraciones
sobre las dimensiones del espacio, que es preferible estudiar separadamente;
tendremos entonces que considerar en particular las potencias sucesivas
del Denario, lo que nos conducirá a enfocar bajo un nuevo aspecto la cuestión
de los límites de lo indefinido, y del paso de lo indefinido al Infinito.
En las observaciones precedentes, hemos querido simplemente indicar cómo
la producción de los números a partir de la Unidad simboliza las diferentes
fases de la manifestación del Ser en su sucesión lógica a partir del principio,
es decir, del Ser mismo, que es idéntico a la Unidad; e incluso, si se hace
intervenir el Cero precediendo a la Unidad primordial, se puede remontar
así más allá del Ser, hasta el No-Ser, es decir, hasta el Absoluto.
Traducción: Alicia López Izquierdo.
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